Forma y modalidad. Una introducción al concepto de consecuencia lógica

Mario Gómez-Torrente, Forma y modalidad. Una introducción al concepto de consecuencia lógica, EUDEBA, Buenos Aires, 2000, 110 pp.

1. La consecuencia lógica como problema filosófico

En nuestro concepto cotidiano de consecuencia, al que apelamos cada vez que decimos que algo se sigue de otra cosa, se confunden una multiplicidad de relaciones: consecuencia analítica, consecuencia metafísica, etc. Entre ellas, la filosofía se ha ocupado de manera central de la noción de consecuencia lógica, porque la considera la más fundamental. Ésta se distingue de otros tipos de consecuencia por ser aquella en la que (propiedad modal) la conclusion se sigue por necesidad lógica de las premisas, de tal modo que (propiedad formai) todo argumente de la misma forma muestra la misma propiedad modal. Así, cualquier teoría científica (o filosófica) de la consecuencia lógica debe ser capaz de explicar por lo menos estas dos propiedades "en términes de nociones mejor comprendidas y más claras" (p. 22). Cualquier reconstrucción o definición que fallara en estos dos puntos justificadamente se consideraría un fracaso. Por desgracia, en años recientes, nuestra mejor explicación de dicho concepto, la definición tarskiana, ha sido objeto de serias críticas en estos aspectos. El libro seminal de Etchemendy (1990) puede verse claramente como el detonador de este renovado interés por la obra y el legado de Alfred Tarski. En el marco de esta reevaluación filosófica del trabajo tarskiano, Mario Gómez-Torrente ha contribuido con varios artícules importantes a su defensa. Ahora, gracias a la publicación de este volumen, contamos además con una presentación introductoria, sistemática y en español de sus argumentes principales.1

Mario Gómez-Torrente divide los capítules que conforman su libro en aquellos puramente introductorios y aquellos que el propio autor identifica como dedicados a "temas algo más avanzados que los introductorios" y que, por consiguiente, pueden "omitirse en una primera lectura". En este sentido, el libro de Mario incluye una introducción básica al concepto de consecuencia lógica (tal como su subtítulo lo indica), así como una serie de anotaciones más avanzadas sobre el mismo tema. Más allá de los propósitos introductorios, el texto de Gómez-Torrente tiene también como objetivo explícito defender la noción tarskiana de consecuencia lógica de ciertas críticas recientes. En este otro sentido, la obra ofrece tanto una exposición de la noción de consecuencia lógica -desde las concepciones antiguas hasta los debates contemporáneos-, como una defensa de la definición tarskiana. En este aspecto, su objetivo central es determiner los presupuestos bajo los cuales dicha definición sería extensionalmente adecuada. La conclusión que ha obtenido Gómez-Torrente es que, bajo presuposiciones harto razonables, la definición tarskiana es adecuada y captura, por lo menos extensionalmente, el significado de nuestra noción preteórica de consecuencia logica, cuando identificamos ésta por su carácter formal y modal.

2. El objetivo de la teoría tarskiana

Mario Gómez-Torrente acertadamente señala que el objetivo último de la definición tarskiana es explicar el concepto intuitivo de consecuencia lógica y que, para ello, basta que ésta (1) se exprese en términos mejor comprendidos y más claros que la noción intuitiva, y (2) sea coextensional con ella. Según el autor, parece claro que el aparato semántico desarrollado por Tarski a fin de definir consecuencia lógica es lo suficientemente claro y comprensible para satisfacer el primer requisite. Es por ello que el grueso del volumen está dedicado a la cuestión de si la definición tarskiana es coextensional con nuestra noción intuitiva de consecuencia lógica. Además, dado que Tarski incorpora el aparato formal desarrollado por Russell y Whitehead (a partir del trabajo de Peano y Frege), la cuestión de la adecuación formai también se da por sentada. Por lo tanto, resta averiguar si la definición tarskiana es también adecuada desde el punto de vista modal, es decir, si todo caso de consecuencia logica es también un caso de seguirse par necesidad logica.

En este respecte, Gómez-Torrente recalca una y otra vez que para juzgar la definicion tarskiana no se debe tomar como criterio correcto el que sea un analisis conceptual, o una reducción ontologica, sino una explication del concepto intuitivo de consecuencia logica. Es importante tener esto en mente cuando se revisan en detalle las criticas recientes al concepto tarskiano de consecuencia logica, pues varias de ellas van dirigidas contra la tesis de que la definicion tarskiana es un buen analisis del concepto de consecuencia logica. Haciendo elusion al trabajo de Etchemendy, por ejemplo, Van McGee (1992, p. 275) escribe:

La conclusion principal a la que le interesa llegar a Etchemendy es que no es logicamente necesario que en cada modelo un enunciado verdadero sea válido, de tal manera que el bicondicional

Un enunciado es logicamente válido si y solo si es verdadero en todo modelo

no es un buen analisis en el mismo sentido en que

Un rombo es un paralelogramo equilátero

lo es. Sin lugar a dudas, esta conclusion de Etchemendy es correcta. Un modelo es un tipo de conjunto, y la logica pura no requiere que existan conjuntos, asi que es logicamente posible que todo enunciado sea verdadero y, a fortiori, no es logicamente posible que todo enunciado sea válido.2

En (2003, p. 160), Manuel Garcia-Carpintero también senala: "Las criticas de Etchemendy presuponen que m-t [la explicación estándar en teoria de modelos de la verdad y la consecuencia lógicas] se proponga como analisis conceptual." Sin embargo, esta claro que la propuesta tarskiana no puede verse como un analisis conceptual estricto pues, como lo ha senalado McGee, las nociones de "satisfaction", "interpretation", "modelo", etc., que aparecen en la definition tarskiana no son conceptos logicos del mismo tipo que el de consecuencia logica, sino conceptos técnicos definidos de manera precisa. No obstante, en un análisis conceptual estricto, los conceptos se analizan en componentes del mismo tipo (en el ejemplo de McGee, el concepto geométrico "rombo" se analiza en sus componentes geométricos "paralelogramo" y "equilátero").3 De no ser asi, lo que tenemos no es un análisis, sino una reduction conceptual. Además, es importante no confundir el tipo de reduction conceptual que hace Tarski con una reduction ontologica. Tarski de ninguna manera pretende demostrar que la consecuencia logica no existe mas alla de ciertos fenómenos semánticos, o que todo caso aparente de consecuencia logica es, en realidad, un caso de (consecuencia lógica)T.4 Tarski define la consecuencia logica en termines semánticos, no porque crea que éstos tienen una existencia mas básica, sino porque nos son más claros y los entendemos mejor. Si bien hay una prioridad explicativa de lo semántico sobre lo lógico en Tarski, de esto no podemos inferir ninguna prioridad ontologica o metafisica.5

Por otro lado, lo que molesta a los criticos antes mencionados (Etchemendy, McGee, Garcia-Carpintero) no es que la teoria de consecuencia logica de Tarski no sea cierta, sino que no sea necesaria.6 Sin embargo, conforme a la perspective de Mario Gomez-Torrente, queda claro que la pretension de Tarski no era dar un análisis conceptual del tipo que McGee busca, y que la pregunta de si su defmición establece una identidad logica, conceptual o metafisicamente necesaria, supone someterla a una condicion demasiado fuerte para sus pretensiones explicativas.7 La pregunta relevante, ha senalado Gomez Torrente, es si de hecho las nociones intuitiva y tarskiana son coextensionales.

Como indicamos anteriormente, Tarski considera que el aparato desarrollado por Russell y Whitehead para su Principia Matematica captura correctamente el carácter formal de la nocion de consecuencia logica. Cuando decimos que, dado un argumento logicamente válido, en todo argumente de la misma forma sera también logicamente válido, hablamos de la misma forma en el sentido apuntado por el aparato formal logicista.8 En este sentido, y desde nuestro punto de vista contemporáneo, la principal ventaja de la teoria tarskiana con respecto a las teorias lógicas formales previas, desde Aristóteles hasta Principia Matematica, es su capacidad de capturar el aspecto modal de la consecuencia logica.

La motivacion principal de Tarski, sin embargo, no era ésta. Tarski simplemente buscaba corregir algunas debilidades extensionales de las teorias deductivistas. Tarski no creia que las teorias de logica formal basadas en la nocion de derivación fracasaban porque no podian explicar el carácter modal de la consecuencia logica; fallaban, mas bien, por no capturar todos los casos intuitivos de consecuencia logica. El problema que Tarski trataba de subsanar, por lo tanto, era un problema de adecuacion extensional. En particular, Tarski se dio cuenta de que, en los sistemas de reglas hasta entonces aceptadas, era posible construir teorias ω-incompletas, donde, dado un predicado P, podian derivarse todas las oraciones de la forma P(n) para todo numeral n y, sin embargo, no era posible derivar la oracion universal "Para todo numero natural n, P(n)." Ahora bien, senala Gomez-Torrente, es importante percatarse de que, pese a que ha despertado perplejidades en los comentadores contemporaneos de la obra de Tarski, el problema de las teorias ω-incompletas es solo un ejemplo de las limitaciones que sufren las propuestas deductivistas.9 Ahora bien, como el mismo Tarski se dio cuenta, los resultados de incomplecion de Godel nos ban dado razones defmitivas para rechazar las propuestas deductivistas.

Una vez rechazada la opcion de explicar el concepto de consecuencia logica en términos de derivabilidad, Tarski retoma la ya vieja propuesta de definirlo en términos de preservacion de verdad. Segun esta propuesta, un argumente es logicamente válido -la conclusion es consecuencia logica de las premisassi y solo si ningun argumente de la misma forma tiene premisas verdaderas y consecuencia falsa. Tarski refuerza esta condicion incorporando el concepto semántico de interpretation, de tal manera que, en vez de hablar de diferentes argumentes de la misma forma (obtenidos a través de la sustitucion de expresiones no logicas dentro de un lenguaje determinado), hablemos de diferentes interpretaciones del mismo argumente. De este modo, un argumente es lógicamente válido si y solo si la conclusion es verdadera en toda interpretación de las expresiones no logicas de las premisas que las haga verdaderas.

El siguiente paso de la propuesta tarskiana es sustituir el impreciso e intuitive concepto de interpretación por un concepto preciso y cientificamente austero. Para ello utiliza la nocion de estructura que ya habia desarrollado antes para la definición de la verdad en los lenguajes formales. Asi, la noción de consecuencia logica queda definida per la siguiente condicion:

(T) Un enunciado A es (consecuencia logica)^sub T^ de un conjunto de enunciados G si y solo si toda estructura que hace a todos los enunciados de G verdaderos, hace también verdadera a A.

Nótese que ninguna noción modal queda involucrada en la definición de Tarski. En este sentido, no podemos sustituir (T) por (T') o (T' ), sin violentar severamente la propuesta tarskiana.

(T') Un enunciado A es (consecuencia lógica)^sub t^ de un conjunto de enunciados G si y solo si toda estructura posible que hace a todos los enunciados de G verdaderos, hace también verdadera a A.

(T') Un enunciado A es (consecuencia lógica)^sub t^ de un conjunto de enunciados G si y solo si toda estructura que hace a todos los enunciados de G verdaderos, debe hacer también verdadera a A.10

Este asunto es importante para entender las restricciones impuestas por Tarski a la adecuacion modal de su defmición. Volveremos a él más adelante, cuando discutamos la respuesta de Gomez-Torrente a los argumentes de contingencia.

3. La adecuacion modal de la definicion tarskiana

Como hemos dicho, una manera de distinguir la consecuencia logica de otro tipo de relaciones de consecuencia es que, en los casos de validez logica, la conclusion se sigue con necesidad logica de las premisas. Para evitar la aparente circularidad de esta afirmacion, es necesario distinguir entre implicacion con necesidad logica y consecuencia logica propiamente dicha. La diferencia descansa en que el adjetivo "logica" ocurre de manera distinta dentro de cada nocion. En el primer caso, el adjetivo refiere a cierta modalidad estricta de la implicacion, mientras que en la segunda refiere a la razon subyacente de tal consecuencia. En otras palabras, un enunciado es consecuencia logica de otro si se sigue de aquelpor razones logicas exclusivamente. Análogamente, una verdad logica es aquella cuya verdad descansa en razones meramente logicas, y debe distinguirse de las verdades logicamente necesarias. Esta distincion es importante para la discusion del trabajo de Tarski, pues este tuvo mucho cuidado de no introducir ningun elemento modal en sus consideraciones logicas. Aun mas, como Mario Gómez-Torrente mismo lo senala,

Tarski era profundamente esceptico acerca de la inteligibilidad y el valor filosofico de las propiedades modales, como la necesidad (logica o de cualquier otra especie), la aprioricidad, la analiticidad, etc., y es dudoso que alguna vez se haya sentido inclinado a usar estas nociones en razonamientos sobre los que pretendiese descargar algún peso. (p. 47)

Para Tarski, pues, no existen ni la necesidad logica ni la implicacion con necesidad logica; sin embargo, para nosotros, al evaluar la adecuación de la noción tarskiana si nos sirve tomar en cuenta el carácter modal comunmente asociado a la noción de consecuencia logica. Es importante tenerlo en cuenta a la hora de resolver la cuestion de si la noción tarskiana captura de manera exitosa la extension de dicho concepto intuitivo. Para responder esta pregunta, nos sera muy util tomar en consideración que la consecuencia logica se entiende de manera tradicional como un tipo de implicacion por necesidad logica.12

Sin embargo, para que tal estrategia sea aplicable al caso tarskiano, Gómez-Torrente necesita comparal "la definition tarskiana usual" de consecuencia logica, es decir, la definition que comúnmente se le atribuye en la bibliografia lógica y filosófica, con la definición de consecuencia logica que Tarski presenta de hecho en su articule "On the Concept of Logical Consequence" (1936), pues solamente asi los alegados contraejemplos sobre la cardinalidad del universe no son consecuencia logica de cualquier conjunto de enunciados. Segun Gomez-Torrente,' tenemos justificacion para llamar a esta nueva definicion -y a su correlativa definicion de verdad logica- "tarskianas usuales" porque (1) "son definibles usando metodos enteramente tarskianos" (p. 53), (2) "son mencionadas por Tarski" (p. 53), (3) comunmente se le atribuyen a el, y (4) sus diferencias "son mas aparentes que reaies" (p. 53). Si hacemos una "suposición inusual pero razonable" (p. 54) con respecto a la restricción del dominio de cuantificación, estas nuevas nociones "no serian diferentes a las nociones definidas por Tarski que vimos en el capitule IV, sino más bien versiones diferentes de una misma nocion" (p. 55). Además, senala Gómez-Torrente, la adopción de tal supuesto no es una adición que el interprete caritativo de Tarski deba hacer; mas bien hay evidencia clara en la obra de este filosofo, para interpretar asi su definicion.14

Antes de continuar, vale la pena senalar que los presuntos contraejemplos de Etchemendy (1990) no están dirigidos de manera directa a la inadecuación modal de la definicion tarskiana, sino a la "suposición de que hechos de un tipo no lógico pueden afectar el resultado de su prueba [de consecuencia logica] solamente si se incluyen expresiones de un tipo no lógico en el conjunto de términos fijos" (Etchemendy 1990, p. 111). Segun Etchemendy, argumentos de este tipo demuestran que "no todos los hechos de un tipo no logico involucran individuos o propiedades especificas" (p. 111), sino que hay enunciados absolutamente génerales cuya verdad no es logica. En este sentido, la crítica de Etchemendy esta dirigida primordialmente a la caracterización, explicita en el logicismo de Frege y Russell, de las verdades lógicas como verdades de maxima generalidad. Tal vez por ello, Gómez-Torrente se cuida de no atribuirle a Etchemendy el uso de este argumente como objeción de la adecuación modal de la definición. En el pasaje de la obra (pp. 48-56) en que se discuten estos supuestos contraejemplos, no se menciona en lo absoluto el nombre de Etchemendy. Es más, una lectura cuidadosa de (Etchemendy 1990) debe dejar claro que las críticas a Tarski ahí contenidas no buscan defender la irreducibilidad del componente modal de la noción de consecuencia lógica.

Finalmente, también habría sido injuste présentar así la crítica de Etchemendy (1990), ya que sus argumentes a favor de la tesis de que existen (verdades lógicas)^sub T^ que no seríian verdades lógicas intuitivas son más sofisticados de lo que podrían sugerir estos ejemplos. Gómez-Torrente presenta estos contraejemplos simplemente como "una objeción que podría hacerse" sin comprometerse a decir si en efecto alguien o quién la ha hecho ya. For lo tanto, se podría acusar a Gómez-Torrente de luchar con un hombre de paja en este punto; sin embargo, tal acusación sería injusta. Si bien es cierto que dicha objeción es fácil de superar, también lo es que la misma idea subyace en los argumentes de contingencia mas complejos. De ahi que sea importante entender exactamente por que los presuntos contraejemplos sencillos no funcionan, antes de entender la pertinencia de las versiones mas sofisticadas. Nótese, además, que cuando Gímez-Torrente introduce esta posible objeción, al final de capítulo V, explícitamente dice que puede utilizarse "para ilustrar la forma en que el razonamiento con nociones modales podría utilizarse para sacar conclusiones de interés para la cuestión de la correction de la definición de (consecuencia lógica)1" (p. 48). Los contraejemplos se introducen justamente con este objetivo, y es en esta dirección adonde se orientan los comentarios de Gomez-Torrente. Como taies, son mas que pertinentes dentro de una introducción a la discusión alrededor del concepto tarskiano de (consecuencia lógica)t. Las respuestas a las objeciones más sofisticadas deben buscarse en el resto de la obra del autor, en especial en Gómez-Torrente 1996.

Por el otro lado, la teoría tarskiana no es una teoria del tipo que preocupa a Etchemendy en este sentido, ya que no trata de reducir la notion modal de necesidad lógica por ningún tipo de generalidad (de interpretaciones). Además, como señala GómezTorrente, su propuesta "no va acompañada de ninguna tesis sustancial respecte a las relaciones entre la noción intuitiva de implicación por necesidad lógica y la noción de generalidad" (p. 58). Sin embargo, gran parte del libro de Gómez-Torrente presupone que el aspecto modal es una propiedad importante atribuida al concepto de consecuencia y que, por lo tanto, al preguntarse por la adecuación del concepto técnico definido respecto al intuitivo, es pertinente tomarlo en cuenta. En este sentido, las teorías cuantificacionales -aquellas que sí tratan de definir la noción de consecuencia lógica en términos de generalidad- pueden servirnos para seguir explorando la adecuación modal del concepto tarskiano. En otras palabras, si bien nos es difícil poner a prueba la definición tarskiana de manera directa con la noción intuitiva, las aproximaciones cuantificacionales no sirven de guía de aproximación a ésta. Los resultados de los capítules VII y VIII, pues, quedan relativizados al éxito de las teorías cuantificacionales. Señala Mario Gómez-Torrente:

[E]l interés del resultado depende en gran medida de que la noción intuitiva de consecuencia lógica sea analizable por medio de una de las nociones generalistas de consecuencia lógica expuestas en este capítule. Si no lo es [...], entonces tendremos razones para pensar que no hemos mostrado (ni siquiera para lenguajes de primer orden) que la noción de (consecuencia lógica)^sub T^ es correcta respecte a la noción intuitiva de consecuencia lógica. (p. 65)

De ahí que en el capítuleo VII, Gómez-Torrente se dedique a estudiar la relación entre la noción tarskiana de consecuencia lógica y las teorías cuantificacionales de la implicación por necesidad lógica más usuales. Estas teorías se caracterizan por el supuesto común de que la implicación por necesidad lógica "se da entre un conjunto de premisas K y X tal que para todo modo de interpretar esas expresiones de forma que todas las oraciones de K sean verdaderas, también X sera verdadera" (p. 57). Diferentes maneras de entender "modo de interpretar" dan pie a diferentes teorías cuantificacionales. Mario GómezTorrente está interesado primerdialmente en tres tipos de ellas: (Cl) aquellas en las que las posibles interpretaciones de los elementos no lógicos del lenguaje son clases, (Col) aquellas cuyos universos son conjuntos de objetos posibles, y finalmente, (ClP) aquellas donde el universe de cuantificación es una clase posible. Extendiendo el argumente clásico de Georg Kreisel (1967), Gómez-Torrente dedica la parte final del capítulo VII a demostrar que todo case de (consecuencia lógica)^sub T^ es un caso de implicación per necesidad lógica, bajo cualquiera de las teorías cuantificacionales antes mencionadas (el resultado inverso es trivial). El argumento esta basado en la observación de que hay cálculos deductivos para la lógica de primer orden que son completos con respecte a la noción tarskiana tradicional de consecuencia lógica e intuitivamente correctos con respecte a las nociones cuantificacionales de implicación per necesidad lógica. Estes cálculos, pues, sirven de puente entre la noción tarskiana tradicional y las cuantificacionales.

A continuación, el capítulo VIII, marcado come no introductorio, no ofrece una demostración, pero sí "algunas razones para pensar" (p. 67) que algo similar puede decirse para los lenguajes de segundo orden. Tal argumento debe complementarse con los argumentes y las consideraciones de Gomez-Torrente presentadas en su artículo (1999), según el cual los argumentos esgrimidos en contra de tal tesis per parte de Etchemendy (1990) y McGee (1992) no son definitivos y -añade Gómez-Torrente-es posible que no puedan serlo. El artículo se introduce ae manera interesante en discusiones centrales para la filosofía de las matemáticas, especialmente en relación con la categoricidad de las teorías matemáticas.

La pregunta de si todo caso de (consecuencia lógica)^sub T^ es también un caso de implicación analitica, donde la conclusión se sigue de las premises en virtud del significado de las constantes lógicas del lenguaje al que pertenecen (bajo el supuesto adicional de que el universe cuenta con por lo menos un objeto y toda constante lógica tiene denotación), es tan sencilla que, justificadamente, Mario Gómez-Torrente lo deja como ejercicio. Efectivamente, una simple extensión del argumento de Kreisel nos da una respuesta casi inmediata.

Gómez-Torrente dedica el resto del capítulo a responder a un argumento de Etchemendy (1990), según el cual hay por lo menos una oración de segundo orden que es (lógicamente verdadera)^sub T^ y, sin embargo, no es analítica. El supuesto contraejemplo sería una oración A de segundo orden tal que la afirmación de su (verdad lógica)^sub T^ sería lógicamente equivalente a la hipótesis del continue o su negación (dependiendo de cuál de las dos sea de hecho verdadera). Dado que ni la hipótesis del continuo ni su negación son analíticas, es decir, verdaderas en virtud del significado de sus expresiones, tanto lógicas como no lógicas, tampoco es analítico que A sea una (verdad logica)^sub T^. For lo tanto, concluye Etchemendy, A tampoco podría ser una verdad analítica.

Es fácil ver, siguiendo a Gomez-Torrente, que el argumente de Etchemendy es invalide, ya que de que una oración dada no sea analítica no se sigue que todo enunciado equivalente a ella tampoco lo sea. De esta manera, es posible que sea analítico que A sea una (verdad lógica)^sub T^ aunque ni la hipótesis del continuo ni su negación lo sean.

Con estas consideraciones, Gómez-Torrente finalize su defensa de la adecuación formal y modal de la definición tarskiana usual de consecuencia lógica. Pasa entonces, per el reste del libre, a tratar el problema de las constantes lógicas en Tarski.

4. El problema de las constantes logicas

Está claro que tanto en la definición original, como en su version usual, la extension del concepto tarskiano de consecuencia 10-gica depende de manera 'fuerte de la selección de constantes logicas en el lenguaje bajo consideración. De tal manera que los argumentes desarrollados a le largo del volumen objeto de este texto dependen también del supuesto implícito de que las constantes lógicas usuales (el cuantificador universal de primer orden, el condicional, la negación, los paréntesis y la igualdad) son el conjunto de las constantes lógicas. Tarski no era ingenuo al respecte y elle le molestaba. Per eso, especialmente en sus últimos añes de vida, buscó "dar una caracterizacién o definición precisa del conjunto de las constantes lógicas en términos de conceptos matemáticos" (p. 91).

Si bien es cierto que Tarski usaba el adjetivo "lógica" "con distintos grades de amplitud en distintos contextes" (p. 94), y que era escéptico en cuanto a "la posibilidad de encontrar una distinción précisa entre las constantes logicas y las no lógicas" (p. 94), también es cierto que gran parte de su trabajo se dedicó a la busqueda de una definición de constante lógica elemental sobre una base conceptualmente austera. Sin embargo, la definición que produjo al final de su vida, y en colaboración con Steven Givant (1987), no logra su cometido. Dicha definición está basada en la definición tarskiana de noción lógica (1966) como elemento lingüístico invariante bajo toda permutación del uni verso de discurso sobre sí mismo. De esta forma, una constante lógica elemental es, según la definición de Tarski y Givant, "una constante que denota una noción lógica en todo universe de discurso y, por tanto, en toda interpretación" (p. 98).

Gómez-Torrente contrasta esta definición con la propuesta por Sher (1991) y otros -tomando como base el trabajo sobre cuantificadores generalizados de Mostowski (1957)-, la cual requiere una invariancia de denotación bajo toda biyección entre universes de la misma cardinalidad. Concluye que tanto la definición de Tarski y Givant como suvariante mostowskiana proporcionan una condición necesaria para las constantes lógicas elementales.15 Sin embargo, no dan una condición suficiente.16 Para tener una caracterización extensional de las constantes lógicas, Mario Gómez-Torrente propone complementar estas definiciones con consideraciones modales similares a las que guiaron su argumentación respecte al concepto de (consecuencia lógica)^sub T^ a lo largo del libro. Así, dado que todas las consideraciones que se hicieron a lo largo del libro pertenecen a una noción de (consecuencia lógica)^sub T^ definida bajo la hipótesis de que las constantes lógicas habituales eran las constantes lógicas elementales, su éxito al capturar la noción intuitiva de consecuencia lógica nos da buenas razones para pensar que dicha hipótesis es verdadera. En otras palabras, el argumento expuesto a lo largo del libro puede verse también como un largo argumento a favor de la tesis de que las constantes lógicas tradicionales son las constantes lógicas elementales.

Finalmente, Mario Gómez-Torrente anade un breve apéndice donde, de una manera clara y concisa, introduce y justifica el uso de las semicomillas quineanas.

5. Comentarios finales

La organizacion del presente volumen y la presentacion de los temas ahi expuestos es excelente. El autor siempre deja en claro la direction que esta siguiendo su argumentation, y tiene cuidado en explicitar supuestos y conclusiones intermedias, además de detenerse de manera constante a recapituler los resultados alcanzados. Cada capitule termina con una sintesis de los resultados que, además de senalar sus limitaciones, apunta hacia otras direcciones de exploration, incluyendo bibliografia complementaria.

Si bien el libro empieza introduciendo las nociones mas básicas sobre las cuales esta construida la notion tarskiana de consecuencia lógica, es evidente que lectores que no estén ya familiarizados con algunos temas de metalógica tendrán graves problemas para tratar de seguir el flujo de la argumentation. Si bien el autor intenta dar una presentacion intuitiva de la mayoria de los resultados técnicos a los que apela, la sutileza y la riqueza de la discusión solo pueden apreciarse con el instrumental técnico adecuado.

Asimismo, las discusiones filosóficas son también complejas y elaboradas. A su servidor, por ejemplo, le costó trabajo seguir los argumentes metafisicos comprendidos en el probleme de la contingencia; sin embargo, es bastante encomiable el trabajo del autor al tratar de présentámes el tema de la consecuencia logica poniendo de relieve su carácter filosófico. Después de haber leido esta obra, no me cabe duda de que las intenciones y el alcance de la definition tarskiana son eminentemente filosoficos.

En el prefacio, el autor nos comenta que el presente texto surgio de una serie de borradores elaborados para un seminario impartido en la Facultad de Filosofia y Letras de la Universidad de Buenos Aires, en el segundo semestre de 1996. Este breve comentario nos senala dos cosas importantes: primero, que esta obra serviria muy bien de libro de texto para un seminario avanzado sobre consecuencia lógica y, segundo, que los asistentes a aquel seminario en Buenos Aires deben considerarse muy afortunados de haber sido introducidos a este importante tema de la mano de un filósofo como Mario Gómez-Torrente.

Footnote

1 Ann así, no debe pensarse que la lectura del presente libro sustituye la lectura de tales artículos, los cuales complementan, en un nivel más avanzado y detallado, los puntos que en esta obra se plantean.

2 Las traducciones de las citas son mias; excepto cuando se especifica de otra manera.

3 En este punto, no hay que confundir los conceptos técnicos empleados por Tarski con los conceptos semánticos homonimos de los que, en algunos casos, son contrapartida.

4 Gomez-Torrente utiliza esta notacion para distinguir las defmiciones tarskianas de sus contrapartidas intuitivas. Usa la 't' minuscula como subindice (t) para indicar la nociones tarskianas originales, y la 'T' mayuscula, también como subindice (T), para las nociones tarskianas usuales. Veremos la distincion mas adelante.

5 En la seccion "What Model Theory Cannot Do for You" de su articulo (2004), Scott Shalkowski también defiende la tesis de que la definicion tradicional de la nocion de consecuencia logica en términos de modelos no puede verse ni como análisis conceptual, ni como reduccion ontologica. A grandes rasgos, el argumente de Shalkowski descansa en la irreducibilidad del aspecto modal de la consecuencia logica. La definicion no funciona (ni como análisis conceptual ni como reduccion ontologica de lo modal a lo no modal) por ser circular: la elección del tipo de estructuras matemáticas que servirán como posibles modelos descansa en criterios previos acerca de lo que es logicamente posible (Shalkowski 2004, p. 69).

Para Shalkowski, la adecuacion extensional de la explicación tarskiana tradicional descansa en las tesis de que: (i) todo modelo representa una posibilidad, y (ii) toda posibilidad esta representada por un modelo. (Notese que Shalkowski favorece la interpretación representational de la definicion tarskiana tradicional.) Sin embargo, no puede justificar internamente (es decir, sin apelar a criterios metafisicos fuertes) ninguna de ellas. En cierto sentido, el libro de Gomez-Torrente trata de servir como argumente a favor de (la version no representacionalista de) las tesis (i) y (ii), sin intentar una reduccion o un análisis conceptual de la modalidad logica.

6 En el resto de la discusión, se pregunta si no sera acaso par lo menas metafisicamente necesaria.

7 En su respuesta, Gomez-Torrente (2003, pp. 199-200) escribe: "dificilmente se ha propuesto alguna vez como análisis conceptual de la nocion comun una nocion que pretenda ser una version técnica o cientifica de algún concepto comun, y no hay nada de malo en ello".

8 Uso aqui el termine "logicista" en el sentido de Grattan-Guinness (2000), para distinguirlo del aparato logico formai algebraico.

9 En este aspecto -senala Gomez-Torrente-, es importante tener en cuenta la confianza de Tarski en el proyecto logicista, donde los conceptos aritméticos podian ser definidos logicamente, de tal manera que argumentes como el que preocupaba a Tarski (de {P(1), P(2), P(3), ...} a "Para todo n, P(n)") habrian de verse como casos de consecuencia logica genuina. Por un lado, es un hecho que, en los lenguajes de primer orden, la relacion de consecuencia logica definida por Tarski coincide extensionalmente con la de derivabilidad. Sin embargo, una lectura mas atenta de la obra tarskiana revela que su interés no se reducia al lenguaje logico de primer orden, y que consideraba igualmente logicos ottos lenguajes. Escribe Mario Gómez-Torrente: "No cabe duda de que Tarski consideraba los primitivos habituales de la teoria simple de tipos como expresiones logicas y, por tanto, a sus propiedades inferenciales como objeto de estudio de la logica" (Gómez-Torrente 2000, p. 31).

10 A menos que la expresion "debe" sea leida enfáticamente, en vez de modalmente. A este respecte, véase Gómez-Torrente 2003.

11 Es precisamente aqui donde los puntos de vista de Gómez-Torrente y Etchemendy divergen de manera mas radical. En la exposicion de Gómez-Torrente, la distinción entre implication con necesidad logica y consecuencia logica esta intimamente ligada a la distinción entre consecuencia analitica y consecuencia logica. En el primer capitulo de su libro, escribe: "¿Coinciden la relacion de implication por necesidad logica y la relation de consecuencia logica? ¿Son la misma relacion? El punto de vista usual sobre esta cuestión es que son relaciones distintas. Se suele aceptar, por ejemplo, que ciertas implicaciones que se dan en virtud del significado de ciertos predicados son implicaciones por necesidad logica, a pesar de que no son casos de consecuencia logica." (Gomez-Torrente 2000, p. 16)

Sin embargo, Etchemendy rechaza la distinción entre "consecuencia en virtud del significado" y "consecuencia logica" y, con ella, la idea de que hay casos de implication por necesidad logica que no son casos de consecuencia logica genuina. Segun él, es vital deshacerse del mito quineano de la consecuencia analitica antes de poder ver con claridad las deficiencias de la propuesta tarskiana. A grandes rasgos, para Etchemendy, todo intento de distinguir ente "implication con necesidad logica" y "consecuencia logica" termina siendo una petición de principio por parte del tarskiano, y los casos de consecuencia logica genuina solo son aquellos captados por el concepto tarskiano. Asi es como Etchemendy interpreta los resultados de Kreisel. Como veremos mas adelante, la interpretación de estos mismos resultados por parte de Gómez-Torrente va en la direction contraria. Para él, una vez que aceptamos la distinción entre "implication con necesidad logica" y "consecuencia logica", los resultados de Kreisel nos permiten ver que la definition tarskiana captura exitosamente la extension del concepto intuitivo de consecuencia logica.

12 Manuel Garcia-Carpintero acusa a Gómez-Torrente de confundir el hecho biografico de que Tarski hubiera expresado explicitamente una posición deflacionista con respecto a lo modal, con el hecho historico de que la definición tarskiana misma deba interpretarse de esta manera. Para Garcia-Carpintero, la pregunta relevante es si "un lector de su trabajo publicado [el de Tarski], con conocimiento del contexte en el cual fue producido y de los problemes filosoficos a los que responde, ignorante de otros detalles del punto de vista del autor contenidos en cartas, memorias, etc., puede obtener racionalmente de tal lectura" una vision deflacionista o no (Garcia-Carpintero 2003, p. 161). Para García-Carpintero, la respuesta es no. Sin embargo, la evidencia textual contenida en el libro aquí reseñado claramente va mas allá de las meras "cartas, memorias, etc." A este respecto, véase también la respuesta de GómezTorrente 2003.

Footnote

13 Timothy Bays defiende esta lectura de Gómez-Torrente; sin embargo, Bays difiere de Gómez-Torrente en otros aspectos exegéticos. Véase Bays 2001.

14 Respecto a la interpretación que Gómez-Torrente ofrece de los pasajes relevantes para esta tesis, véase Bays 2001.

15 Independientemente de la cuestión de si hemos de incluir cuantificadores de orden superior.

16 Una versión más detallada del análisis de Gómez-Torrente sobre las propuestas de Tarski-Givant y la variante mostowskiana de Sher, entre otras, se encuentra en Gómez-Torrente 2002. Sher 2003 responde a las críticas de Gómez-Torrente, y éste ofrece su réplica en el mismo volumen 2003.

References

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