Неке Специјалне Врсте Кривих, Репера И Површи У Просторима Минковског

Abstract

У дисертацији су дефинисани Бишопови репери псеудо нул криве и доказано је да се нормални Бишопови вектори №1 и №№ могу добити при- меном хиперболичке ротације, односно композиције три ротације око две светлосне и једне просторне осе на Френеове векторе № и В редом. Такође је дефинисан Бишопов репер нул Картанове криве и доказано да од свих нул Картанових кривих, једино нул Картанова кубна крива има два Бишопова репера, од којих се један поклапа са њеним Картановим репером.

На крају дисертације је уведен појам увијених површи друге врсте у простору Минковског №1. Класификоване су све недегенеративие увијене површи друге врсте као равне, минималне, или са константном Гаусовом или средњом кривином у односу на изабрани светлосни трансверзални век- торски сноп. Такође је доказано да су светлосне увијене површи друге врсте у односу на изабрани светлосни трансверзални векторски сноп све- тлосни конуси, светлосне бинормалне површи са псеудо нул директрисом и светлосне преносне површи са нул преносима чија директриса лежи на светлосном конусу.

Alternate abstract:

The theory of Riemannian and semi-Riemannian submanifolds is one of the most interesting areas in classical and modern differential geometry. Besides, differential geometry of submanifolds in Minkowski spaces is the reasearch area that recently has given many new results in investigations, in particular in the theory of lightlike submanifolds.

In this thesis, we present some special types of curves, frames and surfaces in Minkowski spaces. We obtain explicit parameter equations of the spacelike rectifying curves in Minkowski space R ³ ₁whose projection onto spacelike, timelike and lightlike plane is a normal curve. We also obtain explicit parameter equations of the spacelike normal curves in the same space whose projection onto lightlike plane with respect to a chosen screen distribution, is a rectifying W-curve.

In this thesis it is proved that there are no null Mannheim curves in Minkowski space R ³ ₁ . It is also proved that the only pseudo null Mannheim curves in Minkowski space R³ ₁ are pseudo null straight lines and pseudo null circles. The notion of Mannheim curves is further generalized by introducing the generalized null Mannheim curves in Minkowski space-time. Such curves and their generalized Mannheim mate curves are characterized in terms of their curvature functions. In particular, the relations between their frames are obtained. In this thesis we also define the generalized partially null Mannheim curves and the generalized pseudo null Mannheim curves in Minkowski space-time R ⁴₁. We prove that there are no non-geodesic generalized partially null Mannheim curves, by considering the cases when the corresponding mate curve is spacelike, timelike, null Cartan, partially null, or pseudo null Frenet curve.

We introduce B¨acklund transformation of pseudo null and null Cartan curve in Minkowski space R ³₁as the transformation which maps pseudo null or null Cartan helix to another pseudo null or null Cartan helix, congruent to the given one. We give the sufficient conditions for a transformation between two null Cartan curves, or two pseudo null curves, such that these curves have equal constant torsions. By using the Da Rios vortex filament equation based on localized induction approximation, we derive the vortex filament equation for a null Cartan curve and obtain evolution equation for its torsion. We also obtain the vortex filament equation for a pseudo null curve and prove that the evolution equation for its torsion is the viscous Burger’s equation.