Développement de méthodes particulaires pour la résolution des écoulements à surface libre

Abstract

Ce travail vise à développer des approches particulaires dans le but de simuler les écoulements à surface libre. Celles-ci s'inspirent des méthodes sans maillages, méthodes apparues durant ces deux dernières décennies, et présentant des avantages par rapport aux approches numériques standards. La première partie de la thèse est consacrée à présenter cette famille de méthodes dont quelques unes, des plus connues, sont détaillées. Les principaux avantages de ces méthodes ainsi que les plus importants défis à leur encontre seront énumérés.

Par la suite, la méthode SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics) est utilisée pour simuler les écoulements à surface libre en utilisant le système de Saint-Venant homogène. Une étude mathématique variationnelle révèle que cette méthode aboutit à une formulation symétrique et donc numériquement instable. Le schéma obtenu est stabilisé par un décentrage (upwinding) qui consiste à introduire une viscosité artificielle. L'expression de cette viscosité est obtenue par une analogie avec les solveurs de Riemann. Cette technique de stabilisation conduit à des résultats probants où les chocs sont bien captés. Toutefois, un effet de lissage est observé au niveau des discontinuités probablement dû à l'absence de technique de type MUSCL dans le décentrage introduit. La méthode SPH, comme la majorité des méthodes sans maillage, possède une fonction de forme non-interpolante rendant difficile l'imposition des conditions aux limites. Ce problème est surmonté en adoptant une interpolation de type élément naturel. Une nouvelle méthode de type volumes finis a été présentée: La Méthode des Volumes Naturels (MVN). Cette méthode s'inspire de l'application de la méthode des éléments naturels en formulation Lagrangienne particulaire. Les flux sont évalués sur les cellules de Voronoï en utilisant la méthode des éléments naturels. Le schéma obtenu est un schéma centré donc instable. La même procédure de stabilisation adoptée pour la méthode SPH a été appliquée pour la MVN.

La MVN montre les mêmes avantages que la méthode SPH lorsqu'elle est appliquée en formulation Lagrangienne. De plus, le caractère interpolant de la fonction de forme de type éléments naturels, permet d'imposer aisément les conditions aux frontières de type Dirichlet. L'application de la MVN dans le cas des équations de Saint-Venant homogènes et ensuite non-homogènes (avec termes source) montre un bon potentiel de cette nouvelle méthode. Le terme source de type géométrique disparaît dans la formulation de type MVN Lagrangienne et les cas avec bathymétrie variable sont traités exactement comme les cas à bathymétrie nulle. Ainsi la profondeur d'eau est remplacée par le niveau de la surface libre. Le schéma obtenu vérifie la z-propriété et la C-propriété.

Alternate abstract:

This work aims to develop particle approaches in order to simulate free surface flows. These are inspired by mesh-free methods, methods that have appeared over the past two decades, and which have advantages over standard numerical approaches. The first part of the thesis is devoted to presenting this family of methods, some of the best known of which are detailed. The main advantages of these methods as well as the most important challenges against them will be listed.

Subsequently, the SPH method (Smoothed Particle Hydrodynamics) is used to simulate free surface flows using the homogeneous Saint-Venant system. A variational mathematical study reveals that this method leads to a symmetric and therefore numerically unstable formulation. The diagram obtained is stabilized by an off-centering (upwinding) which consists in introducing an artificial viscosity. The expression of this viscosity is obtained by an analogy with the Riemann solvers. This stabilization technique leads to convincing results where the shocks are well captured. However, a smoothing effect is observed at the level of the discontinuities, probably due to the absence of a MUSCL type technique in the off-centering introduced. The SPH method, like the majority of meshless methods, has a non-interpolating shape function making it difficult to impose boundary conditions. This problem is overcome by adopting a natural element type interpolation. A new finite volume method was presented: The Natural Volume Method (MVN). This method is inspired by the application of the method of natural elements in a particular Lagrangian formulation. Fluxes are evaluated on Voronoi cells using the natural element method. The diagram obtained is a centered diagram and therefore unstable. The same stabilization procedure adopted for the SPH method was applied for the MVN.

The MVN shows the same advantages as the SPH method when applied in Lagrangian formulation. Moreover, the interpolating character of the shape function of the natural element type makes it possible to easily impose the boundary conditions of the Dirichlet type. The application of the MVN in the case of homogeneous and then non-homogeneous Saint-Venant equations (with source terms) shows a good potential of this new method. The source term of geometric type disappears in the MVN Lagrangian type formulation and the cases with variable bathymetry are treated exactly like the cases with null bathymetry. Thus the water depth is replaced by the level of the free surface. The resulting schema verifies the z-property and the C-property.