Perverse Schobers and Cluster Categories

Abstract

We introduce a framework for the description of categorified perverse sheaves, called perverse schobers, on surfaces with boundary in terms of constructible sheaves of stable ∞-categories on ribbon graphs. We show that the global sections of some of these sheaves describe the derived categories of a class of relative Calabi–Yau dg-algebras, called relative Ginzburg algebras, associated with n-angulated surfaces. We use local-to-global principles to study the representation theory of these Ginzburg algebras, relating it with the geometry of the underlying surface. Using the derived categories of these relative Ginzburg algebras, we also construct a novel class of additive categorifications of cluster algebras associated with marked surfaces without punctures with coefficients in the boundary arcs. We show that these cluster categories coincide with the topological Fukaya categories of the surfaces with values in the derived category of 1-periodic chain complexes. We further study the relation between perverse schobers, relative Calabi–Yau structures and exact ∞-structures on ∞-categories.

Alternate abstract:

Wir führen ein Modell für die Beschreibung von kategorifizierten perversen Garben, genannt perverse Schober, auf Flächen mit Rand ein. Dieses Modell beschreibt perverse Schober als konstruierbare Garben auf Bandgraphen, die Werte in stabilen ∞-Kategorien annehmen. Wir zeigen, dass die globalen Schnitte mancher dieser Garben die derivierten Kategorien einer Klasse von relativen Calabi–Yau dg-Algebren, genannt relative Ginzburg-Algebren, beschreiben. Diese dg-Algebren werden zu n-angulierten Flächen zugeordnet. Wir wenden lokal-global-Prinzipien an, um die Darstellungstheorie dieser Ginzburg-Algebren zu studieren und mit der Geometrie der zugrunde liegenden Flächen in Verbindung zu setzen. Aus den derivierten Kategorien dieser relativen Ginzburg Algebren konstruieren wir auch eine neue Klasse von additiven Kategorifizierungen von Cluster Algebren, assoziiert zu Flächen mit markierten Punkten und mit Koeffizienten in den Randbögen. Wir zeigen, dass diese Cluster Kategorien mit den topologischen Fukaya-Kategorien, mit Werten in der derivierten Kategorie von 1-periodischen Kettenkomplexes, übereinstimmen. Schließlich studieren wir die Beziehung zwischen perversen Schobern, relative Calabi–Yau Strukturen und exakten ∞-Strukturen auf ∞-Kategorien.